微分積分例

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} + x + 12$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{5} - 5 x^{3} + x + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 1.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{3}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $- 5$ をかけます。

$5 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 1.3.2

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 1 + 0$

ステップ 1.3.3

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x^{2}$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$20 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 15$ をかけます。

$20 x^{3} - 30 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$20 x^{3} - 30 x + 0$

ステップ 2.4.2

$20 x^{3} - 30 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 x$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $20 x^{3} - 30 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x^{3}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

ステップ 3.2.3

$3$ に $20$ をかけます。

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 30 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 30 x$ の微分係数は $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$60 x^{2} - 30 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$60 x^{2} - 30 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$- 30$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = 60 x^{2} - 30$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

総和則では、 $60 x^{2} - 30$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$ です。

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $60 x^{2}$ の微分係数は $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

ステップ 4.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 30]$

ステップ 4.2.3

$2$ に $60$ をかけます。

$120 x + \frac{d}{d x} [- 30]$

ステップ 4.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 30$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 30$ の微分係数は $0$ です。

$120 x + 0$

ステップ 4.3.2

$120 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 120 x$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $120 x$ です。

$120 x$

微分積分 例

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