微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ を ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

ステップ 2.1.2

${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

ステップ 2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

ステップ 2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 2.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

ステップ 2.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

ステップ 2.3.4.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ です。

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ を ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

ステップ 3.1.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{- 3}$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 3.2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - 2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$f''' (x) = - 2 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$f''' (x) = 6 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 3.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

ステップ 3.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

ステップ 3.3.5.2

$6$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f''' (x) = 6 (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

ステップ 3.4.2

$6$ と $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}]$ です。

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

ステップ 4.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ を ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{4})}^{- 1})$

ステップ 4.1.2.2

${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

ステップ 4.1.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 4})$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{- 4}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$f^{4} (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 4.2.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 6 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 6 (- 4 {(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 4.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 4$ に $6$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 24 ({(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 4.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 4.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + 0)$

ステップ 4.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} \cdot 1$

ステップ 4.3.5.2

$- 24$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5}$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f^{4} (x) = - 24 \frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$

ステップ 4.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$- 24$ と $\frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{- 24}{{(x + 1)}^{5}}$

ステップ 4.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $- \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$ です。

$- \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$

微分積分 例

微分積分例