微分積分例

$f (x) = 5 \sqrt{x^{5}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x^{5}}]$ を $\frac{d}{d x} [5 (x^{2} \sqrt{x})]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$x^{5}$ を ${(x^{2})}^{2} x$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1.1

$x^{4}$ を因数分解します。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{x^{4} x})$

ステップ 1.1.1.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x})$

ステップ 1.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} \sqrt{x}))$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 + \frac{1}{2}})$

ステップ 1.3.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})$

ステップ 1.3.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})$

ステップ 1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})$

ステップ 1.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{4 + 1}{2}})$

ステップ 1.3.5.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{5}{2}})$

ステップ 1.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{\frac{5}{2}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ です。

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2}})$

ステップ 1.5

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

ステップ 1.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.8

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.9

分子を簡約します。

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ステップ 1.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

ステップ 1.9.2

$5$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

ステップ 1.10

$\frac{5}{2}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = 5 (\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 1.11

$5$ と $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{5 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

ステップ 1.12

$5$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{25}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ の微分係数は $\frac{25}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

ステップ 2.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

ステップ 2.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.7

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 2.8

$\frac{25}{2}$ に $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{25 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.9

掛け算します。

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ステップ 2.9.1

$3$ に $25$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.9.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{75}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$ の微分係数は $\frac{75}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 3.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.9

$\frac{75}{4}$ に $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2}$

ステップ 3.10

掛け算します。

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ステップ 3.10.1

$4$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{8}$

ステップ 3.10.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f''' (x) = \frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{75}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{75}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 4.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

ステップ 4.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 4.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 4.3

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 4.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

ステップ 4.7.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

ステップ 4.8

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 4.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 4.10

$\frac{75}{8}$ に $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{8 \cdot 2}$

ステップ 4.11

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.1

$8$ に $2$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{16}$

ステップ 4.11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$ です。

$- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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