微分積分例

$y = \frac{4 x^{5}}{5} - 7 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{4 x^{5}}{5} - 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{4}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{5}}{5}$ の微分係数は $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.3

$5$ と $\frac{4}{5}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.4

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.5

$\frac{20}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.6

$20$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.6.1

$5$ を $20 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.6.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.2.6.2.4

$4 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{4} - 7 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{4} - 7$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{4} - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{4}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.2.3

$4$ に $4$ をかけます。

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$16 x^{3} + 0$

ステップ 2.3.2

$16 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 16 x^{3}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{3}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 (3 x^{2})$

ステップ 3.3

$3$ に $16$ をかけます。

$f''' (x) = 48 x^{2}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

$48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $48 x^{2}$ の微分係数は $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$48 (2 x)$

ステップ 4.3

$2$ に $48$ をかけます。

$f^{4} (x) = 96 x$

微分積分 例

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