微分積分例

$y = \frac{2 x - 1}{3 x + 4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = 2 x - 1$ および $g (x) = 3 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

$2$ を $3 x + 4$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x + 4) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

総和則では、 $3 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2.10

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2.11

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 + 0)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.12.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) \cdot 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.2.12.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - 3 (2 x - 1)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 (3 x) + 2 \cdot 4 - 3 (2 x - 1)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 (3 x) + 2 \cdot 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{6 x + 2 \cdot 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 6 x - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.1.4

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 6 x + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2

$6 x + 8 - 6 x + 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

$6 x$ から $6 x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{0 + 8 + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2.2

$0$ と $8$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{8 + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.3

$8$ と $3$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{11}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{11}{{(3 x + 4)}^{2}}$ の微分係数は $11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}})$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}}$ を ${({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1})$

ステップ 2.1.2.2

${({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{2 \cdot - 1})$

ステップ 2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{- 2})$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = 3 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x + 4$ とします。

$f'' (x) = 11 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

ステップ 2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 11 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x + 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = 11 (- 2 {(3 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2$ に $11$ をかけます。

$f'' (x) = - 22 ({(3 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $3 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 2.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 2.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 2.3.6

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 + 0)$

ステップ 2.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} \cdot 3$

ステップ 2.3.7.2

$3$ に $- 22$ をかけます。

$f'' (x) = - 66 {(3 x + 4)}^{- 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - 66 \frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$- 66$ と $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 66}{{(3 x + 4)}^{3}}$

ステップ 2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{66}{{(3 x + 4)}^{3}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 66$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{66}{{(3 x + 4)}^{3}}$ の微分係数は $- 66 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}]$ です。

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$

ステップ 3.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$ を ${({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

${({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {(3 x + 4)}^{3 \cdot - 1}$

ステップ 3.1.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {(3 x + 4)}^{- 3}$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = 3 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x + 4$ とします。

$f''' (x) = - 66 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

ステップ 3.2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - 66 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x + 4$ で置き換えます。

$f''' (x) = - 66 (- 3 {(3 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 3$ に $- 66$ をかけます。

$f''' (x) = 198 ({(3 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $3 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 3.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 3.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 3.3.6

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 + 0)$

ステップ 3.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} \cdot 3$

ステップ 3.3.7.2

$3$ に $198$ をかけます。

$f''' (x) = 594 {(3 x + 4)}^{- 4}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f''' (x) = 594 (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}})$

ステップ 3.4.2

$594$ と $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{594}{{(3 x + 4)}^{4}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$594$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{594}{{(3 x + 4)}^{4}}$ の微分係数は $594 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}]$ です。

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}})$

ステップ 4.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}$ を ${({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1})$

ステップ 4.1.2.2

${({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{4 \cdot - 1})$

ステップ 4.1.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{- 4})$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{- 4}$ および $g (x) = 3 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x + 4$ とします。

$f^{4} (x) = 594 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

ステップ 4.2.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 594 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x + 4$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 594 (- 4 {(3 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

ステップ 4.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 4$ に $594$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 2376 ({(3 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $3 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 4.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 4.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 4.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 4.3.6

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 + 0)$

ステップ 4.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} \cdot 3$

ステップ 4.3.7.2

$3$ に $- 2376$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 7128 {(3 x + 4)}^{- 5}$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f^{4} (x) = - 7128 \frac{1}{{(3 x + 4)}^{5}}$

ステップ 4.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$- 7128$ と $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{5}}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{- 7128}{{(3 x + 4)}^{5}}$

ステップ 4.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{7128}{{(3 x + 4)}^{5}}$

微分積分 例

微分積分例