微分積分例

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $3 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.8

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.9

$3$ と $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.10

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.12

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.13.1

$3$ を $3 x^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.2.13.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 (- x^{- 2})$

ステップ 1.3.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 2 x^{- 2}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 2 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2

$2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{x^{2}}$

ステップ 1.4.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$2 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$2 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.2.10

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- 4 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$- 4 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ を ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 4 x^{- 3} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ とします。

$- 4 x^{- 3} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

ステップ 2.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{3}}$ で置き換えます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

ステップ 2.3.4

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 2.3.5

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 2.3.5.2

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 2.3.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

ステップ 2.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

ステップ 2.3.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 2.3.8

公分母の分子をまとめます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 2.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

ステップ 2.3.9.2

$1$ から $3$ を引きます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

ステップ 2.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

ステップ 2.3.11

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 2.3.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 2.3.13

指数を足して $x^{- \frac{2}{3}}$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.13.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 2.3.13.2

公分母の分子をまとめます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

ステップ 2.3.13.3

$- 2$ から $2$ を引きます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

ステップ 2.3.13.4

分数の前に負数を移動させます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

ステップ 2.3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$- 4 x^{- 3} + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

ステップ 2.3.15

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 4 x^{- 3} - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.3.16

$- 2$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ をまとめます。

$- 4 x^{- 3} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.3.17

分数の前に負数を移動させます。

$- 4 x^{- 3} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 \frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{4}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $- \frac{4}{x^{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4}{x^{3}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{3}$ とします。

$- 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.2.5

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.2.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$- 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.2.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.2.7

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.2.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$- 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.2.8

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- \frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ の微分係数は $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ です。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ を ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

ステップ 3.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{4}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{\frac{4}{3}}$ とします。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

ステップ 3.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

ステップ 3.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{\frac{4}{3}}$ で置き換えます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

ステップ 3.3.4

$n = \frac{4}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

ステップ 3.3.5

${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{\frac{4}{3} \cdot - 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

ステップ 3.3.5.2

$\frac{4}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.1

$\frac{4}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

ステップ 3.3.5.2.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{\frac{- 8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

ステップ 3.3.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

ステップ 3.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

ステップ 3.3.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 3.3.8

公分母の分子をまとめます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 3.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}))$

ステップ 3.3.9.2

$4$ から $3$ を引きます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}))$

ステップ 3.3.10

$\frac{4}{3}$ と $x^{\frac{1}{3}}$ をまとめます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{8}{3}} \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3})$

ステップ 3.3.11

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ と $x^{- \frac{8}{3}}$ をまとめます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{8}{3}}}{3})$

ステップ 3.3.12

指数を足して $x^{\frac{1}{3}}$ に $x^{- \frac{8}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.12.1

$x^{- \frac{8}{3}}$ を移動させます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{3}} x^{\frac{1}{3}})}{3})$

ステップ 3.3.12.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{- \frac{8}{3} + \frac{1}{3}}}{3})$

ステップ 3.3.12.3

公分母の分子をまとめます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{\frac{- 8 + 1}{3}}}{3})$

ステップ 3.3.12.4

$- 8$ と $1$ をたし算します。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{\frac{- 7}{3}}}{3})$

ステップ 3.3.12.5

分数の前に負数を移動させます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4 x^{- \frac{7}{3}}}{3})$

ステップ 3.3.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{7}{3}}$ を分母に移動させます。

$12 x^{- 4} - \frac{2}{3} (- \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}})$

ステップ 3.3.14

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$12 x^{- 4} + 1 (\frac{2}{3}) \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

ステップ 3.3.15

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$12 x^{- 4} + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

ステップ 3.3.16

$\frac{2}{3}$ に $\frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$ をかけます。

$12 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 4}{3 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

ステップ 3.3.17

$2$ に $4$ をかけます。

$12 x^{- 4} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

ステップ 3.3.18

$3$ に $3$ をかけます。

$12 x^{- 4} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$12 \frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

ステップ 3.4.2

$12$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{12}{x^{4}} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $\frac{12}{x^{4}} + \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{4}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{12}{x^{4}}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{4}$ とします。

$12 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$12 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.2.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.2.5

${(x^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.2.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$12 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.2.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$12 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.2.7

指数を足して $x^{- 8}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$x^{3}$ を移動させます。

$12 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.2.7.3

$3$ から $8$ を引きます。

$12 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.2.8

$- 4$ に $12$ をかけます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{8}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$ の微分係数は $\frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}]$ です。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}]$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$ を ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}]$

ステップ 4.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{7}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{\frac{7}{3}}$ とします。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}])$

ステップ 4.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}])$

ステップ 4.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{\frac{7}{3}}$ で置き換えます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- {(x^{\frac{7}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}])$

ステップ 4.3.4

$n = \frac{7}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- {(x^{\frac{7}{3}})}^{- 2} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

ステップ 4.3.5

${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{\frac{7}{3} \cdot - 2} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

ステップ 4.3.5.2

$\frac{7}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1

$\frac{7}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{\frac{7 \cdot - 2}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

ステップ 4.3.5.2.2

$7$ に $- 2$ をかけます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{\frac{- 14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

ステップ 4.3.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}))$

ステップ 4.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

ステップ 4.3.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 4.3.8

公分母の分子をまとめます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 4.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 3}{3}}))$

ステップ 4.3.9.2

$7$ から $3$ を引きます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} (\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}}))$

ステップ 4.3.10

$\frac{7}{3}$ と $x^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- x^{- \frac{14}{3}} \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3})$

ステップ 4.3.11

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ と $x^{- \frac{14}{3}}$ をまとめます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{\frac{4}{3}} x^{- \frac{14}{3}}}{3})$

ステップ 4.3.12

指数を足して $x^{\frac{4}{3}}$ に $x^{- \frac{14}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.12.1

$x^{- \frac{14}{3}}$ を移動させます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 (x^{- \frac{14}{3}} x^{\frac{4}{3}})}{3})$

ステップ 4.3.12.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{14}{3} + \frac{4}{3}}}{3})$

ステップ 4.3.12.3

公分母の分子をまとめます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 14 + 4}{3}}}{3})$

ステップ 4.3.12.4

$- 14$ と $4$ をたし算します。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 10}{3}}}{3})$

ステップ 4.3.12.5

分数の前に負数を移動させます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{10}{3}}}{3})$

ステップ 4.3.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{10}{3}}$ を分母に移動させます。

$- 48 x^{- 5} + \frac{8}{9} (- \frac{7}{3 x^{\frac{10}{3}}})$

ステップ 4.3.14

$\frac{8}{9}$ に $\frac{7}{3 x^{\frac{10}{3}}}$ をかけます。

$- 48 x^{- 5} - \frac{8 \cdot 7}{9 (3 x^{\frac{10}{3}})}$

ステップ 4.3.15

$8$ に $7$ をかけます。

$- 48 x^{- 5} - \frac{56}{9 (3 x^{\frac{10}{3}})}$

ステップ 4.3.16

$3$ に $9$ をかけます。

$- 48 x^{- 5} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 48 \frac{1}{x^{5}} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

ステップ 4.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$- 48$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- 48}{x^{5}} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

ステップ 4.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{48}{x^{5}} - \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$

微分積分 例

微分積分例