微分積分例

$f (x) = \ln (3 x - 1)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{3 x - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{3 x - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 x - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 x - 1} (3 + 0)$

ステップ 1.2.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 x - 1} \cdot 3$

ステップ 1.2.6.2

$\frac{1}{3 x - 1}$ と $3$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{3}{3 x - 1}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{3 x - 1}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 1}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{3 x - 1}$ を ${(3 x - 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$3 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 1}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 1$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$3 (- {(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 ({(3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} (3 + 0)$

ステップ 2.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$- 3 {(3 x - 1)}^{- 2} \cdot 3$

ステップ 2.3.7.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$- 9 {(3 x - 1)}^{- 2}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 9 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$- 9$ と $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{9}{{(3 x - 1)}^{2}}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$ です。

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}]$

ステップ 3.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ を ${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 9 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 3.1.2.2

${({(3 x - 1)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 3.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 9 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 2}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 1$ とします。

$- 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 3.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 9 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$- 9 (- 2 {(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 2$ に $- 9$ をかけます。

$18 ({(3 x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.3.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} (3 + 0)$

ステップ 3.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$18 {(3 x - 1)}^{- 3} \cdot 3$

ステップ 3.3.7.2

$3$ に $18$ をかけます。

$54 {(3 x - 1)}^{- 3}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$54 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$

ステップ 3.4.2

$54$ と $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$54$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{54}{{(3 x - 1)}^{3}}$ の微分係数は $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$ です。

$54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}]$

ステップ 4.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{3}}$ を ${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$54 \frac{d}{d x} [{({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}]$

ステップ 4.1.2.2

${({(3 x - 1)}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 4.1.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$54 \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{- 3}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 1$ とします。

$54 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 4.2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$54 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$54 (- 3 {(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 4.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 3$ に $54$ をかけます。

$- 162 ({(3 x - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.3.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} (3 + 0)$

ステップ 4.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$- 162 {(3 x - 1)}^{- 4} \cdot 3$

ステップ 4.3.7.2

$3$ に $- 162$ をかけます。

$- 486 {(3 x - 1)}^{- 4}$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 486 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$

ステップ 4.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$- 486$ と $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{4}}$ をまとめます。

$\frac{- 486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

ステップ 4.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$ です。

$- \frac{486}{{(3 x - 1)}^{4}}$

微分積分 例

微分積分例