微分積分例

$f (x) = x - 2 \sin (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x - 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f' (x) = 1 - 2 \cos (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $1 - 2 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 - 2 (- \sin (x))$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$0 + 2 \sin (x)$

ステップ 2.3

$0$ と $2 \sin (x)$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 \sin (x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f''' (x) = 2 \cos (x)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (- \sin (x))$

ステップ 4.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 2 \sin (x)$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $- 2 \sin (x)$ です。

$- 2 \sin (x)$

微分積分 例

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