微分積分例

$f (x) = \frac{x}{4 - 7 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = 4 - 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(4 - 7 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 - 7 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$4 - 7 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [4 - 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $4 - 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ です。

$\frac{4 - 7 x - x (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 - 7 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ をたし算します。

$\frac{4 - 7 x - x \frac{d}{d x} [- 7 x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4 - 7 x - x (- 7 \frac{d}{d x} [x])}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

$- 7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 - 7 x + 7 x \frac{d}{d x} [x]}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 - 7 x + 7 x \cdot 1}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

ステップ 1.2.9

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 - 7 x + 7 x}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

ステップ 1.2.9.2

$- 7 x$ と $7 x$ をたし算します。

$\frac{4 + 0}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

ステップ 1.2.9.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.3.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{{(4 - 7 x)}^{2}}$

ステップ 1.2.9.3.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}]$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{2}}$ を ${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$4 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.1.2.2

${({(- 7 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 2}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = - 7 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 7 x + 4$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

ステップ 2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $- 7 x + 4$ で置き換えます。

$4 (- 2 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$- 8 ({(- 7 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $- 7 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.3.3

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.3.5

$- 7$ に $1$ をかけます。

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 2.3.6

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} (- 7 + 0)$

ステップ 2.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$- 7$ と $0$ をたし算します。

$- 8 {(- 7 x + 4)}^{- 3} \cdot - 7$

ステップ 2.3.7.2

$- 7$ に $- 8$ をかけます。

$56 {(- 7 x + 4)}^{- 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$56 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

ステップ 2.4.2

$56$ と $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$56$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{56}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ の微分係数は $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$ です。

$56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}]$

ステップ 3.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{3}}$ を ${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$56 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}]$

ステップ 3.1.2.2

${({(- 7 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 3.1.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$56 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = - 7 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 7 x + 4$ とします。

$56 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

ステップ 3.2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$56 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $- 7 x + 4$ で置き換えます。

$56 (- 3 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 3$ に $56$ をかけます。

$- 168 ({(- 7 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $- 7 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 3.3.3

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 3.3.5

$- 7$ に $1$ をかけます。

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 3.3.6

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} (- 7 + 0)$

ステップ 3.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$- 7$ と $0$ をたし算します。

$- 168 {(- 7 x + 4)}^{- 4} \cdot - 7$

ステップ 3.3.7.2

$- 7$ に $- 168$ をかけます。

$1176 {(- 7 x + 4)}^{- 4}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1176 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

ステップ 3.4.2

$1176$ と $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$1176$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1176}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ の微分係数は $1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$ です。

$1176 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}]$

ステップ 4.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{4}}$ を ${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$1176 \frac{d}{d x} [{({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}]$

ステップ 4.1.2.2

${({(- 7 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{4 \cdot - 1}]$

ステップ 4.1.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$1176 \frac{d}{d x} [{(- 7 x + 4)}^{- 4}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{- 4}$ および $g (x) = - 7 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 7 x + 4$ とします。

$1176 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

ステップ 4.2.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1176 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $- 7 x + 4$ で置き換えます。

$1176 (- 4 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

ステップ 4.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 4$ に $1176$ をかけます。

$- 4704 ({(- 7 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 7 x + 4])$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $- 7 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 4.3.3

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 4.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 4.3.5

$- 7$ に $1$ をかけます。

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 4.3.6

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} (- 7 + 0)$

ステップ 4.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$- 7$ と $0$ をたし算します。

$- 4704 {(- 7 x + 4)}^{- 5} \cdot - 7$

ステップ 4.3.7.2

$- 7$ に $- 4704$ をかけます。

$32928 {(- 7 x + 4)}^{- 5}$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$32928 \frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

ステップ 4.4.2

$32928$ と $\frac{1}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$ です。

$\frac{32928}{{(- 7 x + 4)}^{5}}$

微分積分 例

微分積分例