微分積分例

$f (x) = \sqrt[15]{7 x + 5}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[15]{7 x + 5}$ を ${(7 x + 5)}^{\frac{1}{15}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{1}{15}})$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{15}}$ および $g (x) = 7 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x + 5$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{15}}) \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{1}{15}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{15} u^{\frac{1}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $7 x + 5$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{15}{15}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{15}{15}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$- 1$ に $15$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{1 - 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 1.6.2

$1$ から $15$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 14}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 1.7.2

$\frac{1}{15}$ と ${(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 1.8

総和則では、 $7 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 1.9

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 1.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 1.11

$7$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (7 + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 1.12

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot (7 + 0)$

ステップ 1.13

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.13.1

$7$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot 7$

ステップ 1.13.2

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$ と $7$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{7}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{7}{15}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{7}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$ の微分係数は $\frac{7}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}})$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$ を ${({(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({({(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}})}^{- 1})$

ステップ 2.1.2.2

${({(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{14}{15} \cdot - 1})$

ステップ 2.1.2.2.2

$\frac{14}{15} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.2.1

$\frac{14}{15}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{14 \cdot - 1}{15}})$

ステップ 2.1.2.2.2.2

$14$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{- 14}{15}})$

ステップ 2.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}})$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- \frac{14}{15}}$ および $g (x) = 7 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x + 5$ とします。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{14}{15}}) \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 2.2.2

$n = - \frac{14}{15}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} u^{- \frac{14}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $7 x + 5$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{15}{15}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{15}{15}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 14 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $15$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 14 - 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 2.6.2

$- 14$ から $15$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 29}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 2.7.2

${(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}$ と $\frac{14}{15}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}} \cdot 14}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 2.7.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1

$14$ を ${(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14 \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 2.7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{7}{15} \cdot (- \frac{14}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 2.7.4

$\frac{7}{15}$ に $\frac{14}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{7 \cdot 14}{15 (15 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 2.7.5

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.5.1

$7$ に $14$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{98}{15 (15 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 2.7.5.2

$15$ に $15$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 2.8

総和則では、 $7 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 2.9

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 2.11

$7$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (7 + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 2.12

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot (7 + 0)$

ステップ 2.13

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

$7$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}} \cdot 7$

ステップ 2.13.2

$7$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 7 \frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

ステップ 2.13.3

$- 7$ と $\frac{98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 7 \cdot 98}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

ステップ 2.13.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.4.1

$- 7$ に $98$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 686}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

ステップ 2.13.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{686}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- \frac{686}{225}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{686}{225 {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$ の微分係数は $- \frac{686}{225} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}]$ です。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$

ステップ 3.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}}}$ を ${({(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {({(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})}^{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

${({(7 x + 5)}^{\frac{29}{15}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {(7 x + 5)}^{\frac{29}{15} \cdot - 1}$

ステップ 3.1.2.2.2

$\frac{29}{15} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.2.1

$\frac{29}{15}$ と $- 1$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {(7 x + 5)}^{\frac{29 \cdot - 1}{15}}$

ステップ 3.1.2.2.2.2

$29$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {(7 x + 5)}^{\frac{- 29}{15}}$

ステップ 3.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot \frac{d}{d x} {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15}}$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- \frac{29}{15}}$ および $g (x) = 7 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x + 5$ とします。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{29}{15}}) \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.2.2

$n = - \frac{29}{15}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} u^{- \frac{29}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $7 x + 5$ で置き換えます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{15}{15}$ を掛けます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{15}{15}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{29}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 29 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$- 1$ に $15$ をかけます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 29 - 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.6.2

$- 29$ から $15$ を引きます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 44}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.7.2

${(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}}$ と $\frac{29}{15}$ をまとめます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}} \cdot 29}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.7.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1

$29$ を ${(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}}$ の左に移動させます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29 \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}}}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}}$ を分母に移動させます。

$f''' (x) = - \frac{686}{225} \cdot (- \frac{29}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.7.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = 1 (\frac{686}{225}) \cdot (\frac{29}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.7.3.4

$\frac{686}{225}$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{686}{225} \cdot (\frac{29}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 3.7.4

$\frac{29}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$ に $\frac{686}{225}$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{29 \cdot 686}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}} \cdot 225} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 3.7.5

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.5.1

$29$ に $686$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{19894}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}} \cdot 225} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 3.7.5.2

$225$ に $15$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 3.8

総和則では、 $7 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 3.9

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 3.11

$7$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (7 + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 3.12

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot (7 + 0)$

ステップ 3.13

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.1

$7$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = \frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}} \cdot 7$

ステップ 3.13.2

$\frac{19894}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$ と $7$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{19894 \cdot 7}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$

ステップ 3.13.3

$19894$ に $7$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{139258}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{139258}{3375}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{139258}{3375 {(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$ の微分係数は $\frac{139258}{3375} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}})$

ステップ 4.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{{(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}}}$ を ${({(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({({(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}})}^{- 1})$

ステップ 4.1.2.2

${({(7 x + 5)}^{\frac{44}{15}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{44}{15} \cdot - 1})$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{44}{15} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.2.2.1

$\frac{44}{15}$ と $- 1$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{44 \cdot - 1}{15}})$

ステップ 4.1.2.2.2.2

$44$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{\frac{- 44}{15}})$

ステップ 4.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot \frac{d}{d x} ({(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15}})$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{- \frac{44}{15}}$ および $g (x) = 7 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x + 5$ とします。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{44}{15}}) \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 4.2.2

$n = - \frac{44}{15}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} u^{- \frac{44}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $7 x + 5$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15} - 1} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{15}{15}$ を掛けます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{15}{15}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{44}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 44 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $15$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 44 - 15}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 4.6.2

$- 44$ から $15$ を引きます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{\frac{- 59}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15} \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}} \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 4.7.2

${(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}}$ と $\frac{44}{15}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}} \cdot 44}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 4.7.3

式を簡約します。

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ステップ 4.7.3.1

$44$ を ${(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}}$ の左に移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44 \cdot {(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}}}{15} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 4.7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(7 x + 5)}^{- \frac{59}{15}}$ を分母に移動させます。

$f^{4} (x) = \frac{139258}{3375} \cdot (- \frac{44}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5))$

ステップ 4.7.4

$\frac{139258}{3375}$ に $\frac{44}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{139258 \cdot 44}{3375 (15 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}})} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 4.7.5

掛け算します。

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ステップ 4.7.5.1

$139258$ に $44$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{3375 (15 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}})} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 4.7.5.2

$15$ に $3375$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot \frac{d}{d x} (7 x + 5)$

ステップ 4.8

総和則では、 $7 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 4.9

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 4.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 4.11

$7$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (7 + \frac{d}{d x} (5))$

ステップ 4.12

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot (7 + 0)$

ステップ 4.13

分数をまとめます。

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ステップ 4.13.1

$7$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = - \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}} \cdot 7$

ステップ 4.13.2

$7$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 7 \frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

ステップ 4.13.3

$- 7$ と $\frac{6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{- 7 \cdot 6127352}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

ステップ 4.13.4

式を簡約します。

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ステップ 4.13.4.1

$- 7$ に $6127352$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{- 42891464}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

ステップ 4.13.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{42891464}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $- \frac{42891464}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$ です。

$- \frac{42891464}{50625 {(7 x + 5)}^{\frac{59}{15}}}$

微分積分 例

微分積分例