微分積分例

$f (x) = x^{2} \sin (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)$

ステップ 1.3.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

ステップ 2.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x \sin (x))$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

ステップ 2.3.5

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x))$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x)$

ステップ 2.4.2

$\cos (x) (2 x)$ と $2 x \cos (x)$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$\cos (x)$ を移動させます。

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + 2 x \cos (x) + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

ステップ 2.4.2.2

$2 x \cos (x)$ と $2 x \cos (x)$ をたし算します。

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ です。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2} \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ です。

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

ステップ 3.2.2

$f''' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

ステップ 3.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

ステップ 3.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x \cos (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ です。

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

ステップ 3.3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

ステップ 3.3.5

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

ステップ 3.4.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \cos (x)$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \cos (x)$

ステップ 3.5.2

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 3.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 (\sin (x) (x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 3.5.3.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 4 (x (\sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 3.5.3.3

$- 2 \sin (x) x$ から $4 x \sin (x)$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 3.5.3.3.2

$- 2 x \sin (x)$ から $4 x \sin (x)$ を引きます。

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 3.5.3.4

$4 \cos (x)$ と $2 \cos (x)$ をたし算します。

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2} \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ です。

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{4} (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

ステップ 4.2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

ステップ 4.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x \sin (x)$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ です。

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

ステップ 4.3.2

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

ステップ 4.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

ステップ 4.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

ステップ 4.3.5

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

ステップ 4.4

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \cos (x)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + 6 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

ステップ 4.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + 6 (- \sin (x))$

ステップ 4.4.3

$- 1$ に $6$ をかけます。

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) - 6 \sin (x)$

ステップ 4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) - 6 \sin (x)$

ステップ 4.5.2

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

ステップ 4.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 1 (x^{2} (\sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

ステップ 4.5.3.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

ステップ 4.5.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 2 (\cos (x) (x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

ステップ 4.5.3.4

$- 2 \cos (x) x$ から $6 x \cos (x)$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.4.1

$\cos (x)$ を移動させます。

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 2 x \cos (x) - 6 x \cos (x) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

ステップ 4.5.3.4.2

$- 2 x \cos (x)$ から $6 x \cos (x)$ を引きます。

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

ステップ 4.5.3.5

$- 6 \sin (x)$ から $6 \sin (x)$ を引きます。

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$ です。

$x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$

微分積分 例

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