微分積分例

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.3.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.3.2.2.4

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.3.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

ステップ 1.3.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x \ln (x) + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \ln (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.6

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.6.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.6.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

ステップ 2.4.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 \ln (x) + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \ln (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 3.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 3.2.3

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

ステップ 3.3.2

$\frac{2}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 4.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

ステップ 4.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

ステップ 4.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4.5.2

項をまとめます。

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ステップ 4.5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

ステップ 4.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $- \frac{2}{x^{2}}$ です。

$- \frac{2}{x^{2}}$

微分積分 例

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