微分積分例

$f (x) = {(2 x + 7)}^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 2 x + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 7$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 7$ で置き換えます。

$3 {(2 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$3 {(2 x + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 1.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 1.2.5

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + 0)$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$3 {(2 x + 7)}^{2} \cdot 2$

ステップ 1.2.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 6 {(2 x + 7)}^{2}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(2 x + 7)}^{2}$ を $(2 x + 7) (2 x + 7)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [6 ((2 x + 7) (2 x + 7))]$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 7) (2 x + 7)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x + 7) + 7 (2 x + 7))]$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x + 7))]$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

ステップ 2.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

ステップ 2.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

ステップ 2.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

ステップ 2.3.1.4

$7$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

ステップ 2.3.1.5

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 7 \cdot 7)]$

ステップ 2.3.1.6

$7$ に $7$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 49)]$

ステップ 2.3.2

$14 x$ と $14 x$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 28 x + 49)]$

ステップ 2.4

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 (4 x^{2} + 28 x + 49)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$

ステップ 2.5

総和則では、 $4 x^{2} + 28 x + 49$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49]$ です。

$6 (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

ステップ 2.6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

ステップ 2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

ステップ 2.8

$2$ に $4$ をかけます。

$6 (8 x + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

ステップ 2.9

$28$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $28 x$ の微分係数は $28 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 (8 x + 28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

ステップ 2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (8 x + 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

ステップ 2.11

$28$ に $1$ をかけます。

$6 (8 x + 28 + \frac{d}{d x} [49])$

ステップ 2.12

$49$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $49$ の微分係数は $0$ です。

$6 (8 x + 28 + 0)$

ステップ 2.13

$8 x + 28$ と $0$ をたし算します。

$6 (8 x + 28)$

ステップ 2.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

分配則を当てはめます。

$6 (8 x) + 6 \cdot 28$

ステップ 2.14.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.1

$8$ に $6$ をかけます。

$48 x + 6 \cdot 28$

ステップ 2.14.2.2

$6$ に $28$ をかけます。

$f'' (x) = 48 x + 168$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $48 x + 168$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$ です。

$\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [48 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $48 x$ の微分係数は $48 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [168]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [168]$

ステップ 3.2.3

$48$ に $1$ をかけます。

$48 + \frac{d}{d x} [168]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$168$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $168$ の微分係数は $0$ です。

$48 + 0$

ステップ 3.3.2

$48$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = 48$

ステップ 4

$48$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $48$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = 0$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $0$ です。

$0$

微分積分 例

微分積分例