微分積分例

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.2.3

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.2.4

$\frac{4}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.2.5

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.2.5.2.4

$2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

ステップ 1.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x^{3} + 6 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 6 (2 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $6 x^{2} + 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$12 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x + 12 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$12$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = 12 x + 12$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

総和則では、 $12 x + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 4.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 4.2.3

$12$ に $1$ をかけます。

$12 + \frac{d}{d x} [12]$

ステップ 4.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.3.1

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$12 + 0$

ステップ 4.3.2

$12$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 12$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $12$ です。

$12$

微分積分 例

微分積分例