微分積分例

$f (x) = \cos^{2} (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$f' (x) = 2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f' (x) = 2 \cos (x) (- \sin (x))$

ステップ 1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos (x) \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.4

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 2.8

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

ステップ 2.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

ステップ 2.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

ステップ 2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

ステップ 2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

ステップ 2.13

簡約します。

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ステップ 2.13.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x))$

ステップ 2.13.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ です。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos^{2} (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ です。

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (x)$ とします。

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

ステップ 3.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = - 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

ステップ 3.2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f''' (x) = - 2 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

ステップ 3.2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = - 2 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

ステップ 3.2.5

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sin^{2} (x))$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin^{2} (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ です。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x))$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

ステップ 3.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

ステップ 3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

ステップ 3.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

ステップ 3.3.4

$2$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 3.4

項をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$4 \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$f''' (x) = 4 \cos (x) \sin (x) + 4 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 3.4.2

$4 \cos (x) \sin (x)$ と $4 \cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$f''' (x) = 8 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \cos (x) \sin (x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ です。

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 4.2

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 4.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 4.4

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 4.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 4.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 8 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 4.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

ステップ 4.8

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

ステップ 4.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

ステップ 4.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

ステップ 4.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

ステップ 4.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 8 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

ステップ 4.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.13.1

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) + 8 (- \sin^{2} (x))$

ステップ 4.13.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$f^{4} (x) = 8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$ です。

$8 \cos^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x)$

微分積分 例

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