微分積分例

$\int (2 x + 5) {(x^{2} + 5 x)}^{7} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 5 x$ とします。次に $d u = (2 x + 5) d x$ すると、 $\frac{1}{2 x + 5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 5 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$2 x + 5$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{7} d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u^{7}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{8} u^{8}$ です。

$\frac{1}{8} u^{8} + C$

ステップ 3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 5 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} {(x^{2} + 5 x)}^{8} + C$

微分積分 例