微分積分例

$\int 15 x \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int 15 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

ステップ 1.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\int 15 (x^{\frac{1}{2}} x) + 2 \sqrt{x} d x$

ステップ 1.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 15 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 2 \sqrt{x} d x$

ステップ 1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 15 x^{\frac{1}{2} + 1} + 2 \sqrt{x} d x$

ステップ 1.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int 15 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\int 15 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

ステップ 1.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int 15 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 15 x^{\frac{3}{2}} d x + \int 2 \sqrt{x} d x$

ステップ 3

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $15$ を積分の外に移動させます。

$15 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int 2 \sqrt{x} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int 2 \sqrt{x} d x$

ステップ 5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int \sqrt{x} d x$

ステップ 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

$15 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$15$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{15 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.2.2

$15$ に $2$ をかけます。

$\frac{30}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.2.3

$30$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.1

$5$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 6}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 6}{5 (1)} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6}{1} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.2.3.2.4

$6$ を $1$ で割ります。

$6 x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.2.4

$2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$6 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.2.5

$2$ に $2$ をかけます。

$6 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例