微分積分例

$\int \frac{2}{x - 4} - \frac{3}{2 x + 1} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{2}{x - 4} d x + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

ステップ 3

$u_{1} = x - 4$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = x - 4$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 3.1.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

ステップ 6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

ステップ 7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

ステップ 8

$u_{2} = 2 x + 1$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{2} = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 8.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 8.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 8.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 8.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 8.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 8.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 8.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 9.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ と $- 3$ をまとめます。

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 11.2

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 12

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 13

簡約します。

$2 \ln (| u_{1} |) - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 14.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$2 \ln (| x - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 14.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$2 \ln (| x - 4 |) - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

微分積分 例

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