微分積分例

$\int (x^{2} + 5 x + 6) \cos (2 x) d x$

ステップ 1

分配則を当てはめます。

$\int x^{2} \cos (2 x) + 5 x \cos (2 x) + 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{2} \cos (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 3

$u = x^{2}$ と $d v = \cos (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 4.2

$x^{2}$ と $\frac{\sin (2 x)}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 6.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 6.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (1 \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 6.3

$\int \sin (2 x) (x) d x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) (x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 7

$u = x$ と $d v = \sin (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 8.2

$x$ と $\frac{\cos (2 x)}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 8.3

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 12

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 12.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 12.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 12.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 13

$\cos (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 15.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 16

$\cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\sin (u_{1})$ です。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 17

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 \int x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 18

$u = x$ と $d v = \cos (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 19.2

$x$ と $\frac{\sin (2 x)}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 19.3

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 20

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x)) + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 21

$u_{2} = 2 x$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

$u_{2} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 21.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 21.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 21.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 21.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 22

$\sin (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 23

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2})) + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 24

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 24.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 25

$\sin (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \cos (u_{2})$ です。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \int 6 \cos (2 x) d x$

ステップ 26

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 \int \cos (2 x) d x$

ステップ 27

$u_{3} = 2 x$ とします。次に $d u_{3} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{3} = d x$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

$u_{3} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 27.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 27.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 27.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 27.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}$

ステップ 28

$\cos (u_{3})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}$

ステップ 29

$\frac{1}{2}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 (\frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3})$

ステップ 30

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.1

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{6}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

ステップ 30.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{2 \cdot 3}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

ステップ 30.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

ステップ 30.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

ステップ 30.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{3}{1} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

ステップ 30.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 3 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

ステップ 31

$\cos (u_{3})$ の $u_{3}$ に関する積分は $\sin (u_{3})$ です。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 3 (\sin (u_{3}) + C)$

ステップ 32

簡約します。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u_{1})}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (u_{2})}{4} + 3 \sin (u_{3}) + C$

ステップ 33

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 33.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (u_{2})}{4} + 3 \sin (u_{3}) + C$

ステップ 33.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (2 x)}{4} + 3 \sin (u_{3}) + C$

ステップ 33.3

$u_{3}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (2 x)}{4} + 3 \sin (2 x) + C$

ステップ 34

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x \cos (2 x) - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{5}{2} x \sin (2 x) + \frac{5}{4} \cos (2 x) + 3 \sin (2 x) + C$

微分積分 例

微分積分例