微分積分例

$\int \sqrt{r} - \frac{1}{r^{3}} d r$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sqrt{r} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{r}$ を $r^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int r^{\frac{1}{2}} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

ステップ 3

べき乗則では、 $r^{\frac{1}{2}}$ の $r$ に関する積分は $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

ステップ 4

$- 1$ は $r$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int \frac{1}{r^{3}} d r$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$r^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int {(r^{3})}^{- 1} d r$

ステップ 5.2

${(r^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{3 \cdot - 1} d r$

ステップ 5.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{- 3} d r$

ステップ 6

べき乗則では、 $r^{- 3}$ の $r$ に関する積分は $- \frac{1}{2} r^{- 2}$ です。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2} r^{- 2} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

$r^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{r^{- 2}}{2} + C)$

ステップ 7.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $r^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2 r^{2}} + C)$

ステップ 7.2

簡約します。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} - - \frac{1}{2 r^{2}} + C$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{1}{2 r^{2}} + C$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{2 r^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 r^{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例