微分積分例

$\int (t^{2} + t) \cos (3 t) d t$

ステップ 1

分配則を当てはめます。

$\int t^{2} \cos (3 t) + t \cos (3 t) d t$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int t^{2} \cos (3 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 3

$u = t^{2}$ と $d v = \cos (3 t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$t^{2} (\frac{1}{3} \sin (3 t)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{3}$ と $\sin (3 t)$ をまとめます。

$t^{2} \frac{\sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 4.2

$t^{2}$ と $\frac{\sin (3 t)}{3}$ をまとめます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 5

$\frac{1}{3} \cdot 2$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int \sin (3 t) (t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} \int \sin (3 t) (t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 7

$u = t$ と $d v = \sin (3 t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (t (- \frac{1}{3} \cos (3 t)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\cos (3 t)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (t (- \frac{\cos (3 t)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 8.2

$t$ と $\frac{\cos (3 t)}{3}$ をまとめます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 8.3

$\cos (3 t)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - \int - \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 9

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - - \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + 1 \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 10.2

$\int \frac{\cos (3 t)}{3} d t$ に $1$ をかけます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 11

$\frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 12

$u_{1} = 3 t$ とします。次に $d u_{1} = 3 d t$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 12.1

$u_{1} = 3 t$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 12.1.1

$3 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 12.1.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 12.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 12.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 13

$\cos (u_{1})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{3} d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 14

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 15.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 16

$\cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\sin (u_{1})$ です。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \int t \cos (3 t) d t$

ステップ 17

$u = t$ と $d v = \cos (3 t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + t (\frac{1}{3} \sin (3 t)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

$\frac{1}{3}$ と $\sin (3 t)$ をまとめます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + t \frac{\sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

ステップ 18.2

$t$ と $\frac{\sin (3 t)}{3}$ をまとめます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

ステップ 19

$\frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t)$

ステップ 20

$u_{2} = 3 t$ とします。次に $d u_{2} = 3 d t$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 20.1

$u_{2} = 3 t$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 20.1.1

$3 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 20.1.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 20.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 20.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 20.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 21

$\sin (u_{2})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

ステップ 22

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 23

簡約します。

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ステップ 23.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 23.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 24

$\sin (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \cos (u_{2})$ です。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u_{2}) + C)$

ステップ 25

簡約します。

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ステップ 25.1

簡約します。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u_{2})) + C$

ステップ 25.2

簡約します。

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ステップ 25.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + 1 (\frac{1}{9}) \cos (u_{2}) + C$

ステップ 25.2.2

$\frac{1}{9}$ に $1$ をかけます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{1}{9} \cos (u_{2}) + C$

ステップ 25.2.3

$\frac{1}{9}$ と $\cos (u_{2})$ をまとめます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (u_{2})}{9} + C$

ステップ 26

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 26.1

$u_{1}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (3 t)}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (u_{2})}{9} + C$

ステップ 26.2

$u_{2}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (3 t)}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (3 t)}{9} + C$

ステップ 27

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} t^{2} \sin (3 t) + \frac{2}{9} t \cos (3 t) - \frac{2}{27} \sin (3 t) + \frac{1}{3} t \sin (3 t) + \frac{1}{9} \cos (3 t) + C$

微分積分 例

微分積分例