微分積分例

$\int \frac{2 x^{2} - x + 4}{x^{3} + 4 x} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x$ を $x^{3} + 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

ステップ 1.1.1.2

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x (x^{2} + 4)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x^{2} + 4)$ です。

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.1.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.1.5

$x^{2} + 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.1.5.2

$2 x^{2} - x + 4$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.1.6.1.2

$A (x^{2} + 4)$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} - x + 4 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.1.6.3

$4$ を $A$ の左に移動させます。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.1.6.4

$x^{2} + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.1.6.4.2

$(B x + C) (x)$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

ステップ 1.1.6.5

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

ステップ 1.1.6.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.6.6.1

$x$ を移動させます。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

ステップ 1.1.6.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

ステップ 1.1.7

$4 A$ を移動させます。

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 1 = C$

ステップ 1.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$4 = 4 A$

ステップ 1.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

方程式を $C = - 1$ として書き換えます。

$C = - 1$

$2 = A + B$

$4 = 4 A$

ステップ 1.3.2

各方程式の $C$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.2.1

方程式を $4 A = 4$ として書き換えます。

$4 A = 4$

$C = - 1$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.2.2

$4 A = 4$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$4 A = 4$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.2.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.3.1

$4$ を $4$ で割ります。

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

ステップ 1.3.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$2 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = - 1$

ステップ 1.3.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

括弧を削除します。

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

ステップ 1.3.4

$2 = 1 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.4.1

方程式を $1 + B = 2$ として書き換えます。

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = - 1$

ステップ 1.3.4.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.3.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = - 1$

ステップ 1.3.4.2.2

$2$ から $1$ を引きます。

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

ステップ 1.3.5

連立方程式を解きます。

$B = 1 A = 1 C = - 1$

ステップ 1.3.6

すべての解をまとめます。

$B = 1, A = 1, C = - 1$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{x} + \frac{1 x - 1}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

括弧を削除します。

$\frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x - 1}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.5.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 4

分数 $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ を2つの分数に分割します。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{- 1}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 5

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 7

$u = x^{2} + 4$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = x^{2} + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$x^{2} + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 7.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 7.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 7.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 8.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{2 u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$x^{2}$ と $4$ を並べ替えます。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

ステップ 12.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 13

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ です。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{1}{2}$ と $\arctan (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

ステップ 14.2

簡約します。

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

ステップ 15

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4$ で置き換えます。

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

微分積分 例

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