微分積分例

$\int (x - 1) \sin (π x) d x$

ステップ 1

$u = x - 1$ と $d v = \sin (π x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) d x$

ステップ 2

$- \frac{1}{π}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\cos (π x)$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

ステップ 3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + 1 (\frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

ステップ 3.3

$\frac{1}{π}$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x$

ステップ 4

$u = π x$ とします。次に $d u = π d x$ すると、 $\frac{1}{π} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = π x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$π x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 4.1.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$π \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$π \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$π$ に $1$ をかけます。

$π$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

ステップ 5

$\cos (u)$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{π}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{π}$ に $\frac{1}{π}$ をかけます。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π π} \int \cos (u) d u$

ステップ 7.2

$π$ を $1$ 乗します。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π} \int \cos (u) d u$

ステップ 7.3

$π$ を $1$ 乗します。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \cos (u) d u$

ステップ 7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \cos (u) d u$

ステップ 7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} \int \cos (u) d u$

ステップ 8

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$

ステップ 9

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ステップ 9.1

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$ を $- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$ に書き換えます。

$- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

ステップ 9.2

$\frac{\cos (π x)}{π}$ と $x$ をまとめます。

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

ステップ 11

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ステップ 11.1

$\frac{\cos (π x) x}{π}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{x \cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

ステップ 11.2

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{π} x \cos (π x) + \frac{1}{π} \cos (π x) + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

微分積分 例

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