微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

ステップ 1.2.1.2

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$7$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

ステップ 1.2.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

ステップ 1.3.1.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\tan (0)}$

ステップ 1.3.3.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

ステップ 3.3

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

ステップ 3.5

$7$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

ステップ 3.6

$7$ を $\cos (7 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

ステップ 3.7

$7$ に $\cos (7 x)$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

ステップ 3.8

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.8.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.8.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

ステップ 3.9

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)}$

ステップ 3.11

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3}$

ステップ 3.12

$3$ を $\sec^{2} (3 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \cdot \sec^{2} (3 x)}$

ステップ 3.13

$3$ に $\sec^{2} (3 x)$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \sec^{2} (3 x)}$

ステップ 4

$\frac{7}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{7}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x)}$

ステップ 5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

ステップ 6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

ステップ 7

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

ステップ 8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (3 x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}}$

ステップ 9

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

ステップ 10

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 11

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 11.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

ステップ 12

答えを簡約します。

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ステップ 12.1

まとめる。

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

ステップ 12.2

$\sec (3 \cdot 0)$ を $\sec^{2} (3 \cdot 0)$ で因数分解します。

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 (\sec (3 \cdot 0) \sec (3 \cdot 0))}$

ステップ 12.3

分数を分解します。

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec (3 \cdot 0)}$

ステップ 12.4

正弦と余弦に関して $\sec (3 \cdot 0)$ を書き換えます。

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}}$

ステップ 12.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ で割ります。

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

ステップ 12.6

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

ステップ 12.7

$7$ に $0$ をかけます。

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (3 \cdot 0))$

ステップ 12.8

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

ステップ 12.9

分数を分解します。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

ステップ 12.10

正弦と余弦に関して $\sec (0)$ を書き換えます。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}} (\cos (0) \cos (0))$

ステップ 12.11

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (0)}$ で割ります。

$\frac{7}{3} (1 \cos (0)) (\cos (0) \cos (0))$

ステップ 12.12

$\cos (0)$ に $1$ をかけます。

$\frac{7}{3} \cos (0) (\cos (0) \cos (0))$

ステップ 12.13

指数を足して $\cos (0)$ に $\cos (0)$ を掛けます。

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ステップ 12.13.1

$\cos (0)$ を移動させます。

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos (0)) \cos (0)$

ステップ 12.13.2

$\cos (0)$ に $\cos (0)$ をかけます。

$\frac{7}{3} \cos^{2} (0) \cos (0)$

ステップ 12.14

指数を足して $\cos^{2} (0)$ に $\cos (0)$ を掛けます。

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ステップ 12.14.1

$\cos (0)$ を移動させます。

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos^{2} (0))$

ステップ 12.14.2

$\cos (0)$ に $\cos^{2} (0)$ をかけます。

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ステップ 12.14.2.1

$\cos (0)$ を $1$ 乗します。

$\frac{7}{3} (\cos^{1} (0) \cos^{2} (0))$

ステップ 12.14.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7}{3} {\cos (0)}^{1 + 2}$

ステップ 12.14.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{7}{3} \cos^{3} (0)$

ステップ 12.15

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{7}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.16

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{7}{3} \cdot 1$

ステップ 12.17

$\frac{7}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{7}{3}$

微分積分 例

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