微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 1.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.5

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.6

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} \tan (x)$

ステップ 5

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\tan (lim_{x \to 0} x)$

ステップ 6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\tan (0)$

ステップ 7

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0$

微分積分 例

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