微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.4

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.6.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.6.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.2.6.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 1.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $e^{x} - e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (- 1 e^{- x})}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.4.9

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (x)}$

ステップ 4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 6

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 7

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 8

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 9

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 10

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 10.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 10.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (0)}$

ステップ 11

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 + e^{0}}{\cos (0)}$

ステップ 11.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 + 1}{\cos (0)}$

ステップ 11.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{\cos (0)}$

ステップ 11.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{2}{1}$

ステップ 11.3

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

微分積分 例

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