微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.7

$\frac{1}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1} \cdot 1$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}$

ステップ 5.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 1}$

ステップ 5.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 5.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}$

ステップ 6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{0 + 1}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{1}$

ステップ 7.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

微分積分 例

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