微分積分例

$\sum_{k = 1}^{8} k (6 k + 7)$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$k (6 k) + k \cdot 7$

ステップ 1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$6 k \cdot k + k \cdot 7$

ステップ 1.3

$7$ を $k$ の左に移動させます。

$6 k \cdot k + 7 \cdot k$

ステップ 1.4

指数を足して $k$ に $k$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1

$k$ を移動させます。

$6 (k \cdot k) + 7 \cdot k$

ステップ 1.4.2

$k$ に $k$ をかけます。

$6 k^{2} + 7 \cdot k$

$6 k^{2} + 7 k$

ステップ 1.5

総和を書き換えます。

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k$

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k = 6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2} + 7 \sum_{k = 1}^{8} k$

ステップ 3

$6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 3.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(6) (\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6})$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$8$ と $1$ をたし算します。

$6 \frac{8 \cdot 9 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

ステップ 3.3.1.2

指数をまとめます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$8$ に $9$ をかけます。

$6 \frac{72 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

ステップ 3.3.1.2.2

$2$ に $8$ をかけます。

$6 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

$6 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

ステップ 3.3.1.3

$16$ と $1$ をたし算します。

$6 \frac{72 \cdot 17}{6}$

$6 \frac{72 \cdot 17}{6}$

ステップ 3.3.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$72$ に $17$ をかけます。

$6 (\frac{1224}{6})$

ステップ 3.3.2.2

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$6 (\frac{1224}{6})$

ステップ 3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$1224$

$1224$

$1224$

$1224$

$1224$

ステップ 4

$7 \sum_{k = 1}^{8} k$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 4.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(7) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$8$ と $1$ をたし算します。

$7 \frac{8 \cdot 9}{2}$

ステップ 4.3.2

$8$ に $9$ をかけます。

$7 (\frac{72}{2})$

ステップ 4.3.3

$72$ を $2$ で割ります。

$7 \cdot 36$

ステップ 4.3.4

$7$ に $36$ をかけます。

$252$

$252$

$252$

ステップ 5

合計した結果をたします。

$1224 + 252$

ステップ 6

$1224$ と $252$ をたし算します。

$1476$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$