微分積分例

$\sum_{k = 1}^{30} k (k - 2) (k + 2)$

ステップ 1

総和を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$(k \cdot k + k \cdot - 2) (k + 2)$

ステップ 1.2

$k$ に $k$ をかけます。

$(k^{2} + k \cdot - 2) (k + 2)$

ステップ 1.3

$- 2$ を $k$ の左に移動させます。

$(k^{2} - 2 \cdot k) (k + 2)$

ステップ 1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(k^{2} - 2 k) (k + 2)$ を展開します。

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ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$k^{2} (k + 2) - 2 k (k + 2)$

ステップ 1.4.2

分配則を当てはめます。

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k (k + 2)$

ステップ 1.4.3

分配則を当てはめます。

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

ステップ 1.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

指数を足して $k^{2}$ に $k$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1.1

$k^{2}$ に $k$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1.1.1

$k$ を $1$ 乗します。

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

ステップ 1.5.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

ステップ 1.5.1.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$k^{3} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

ステップ 1.5.1.2

$2$ を $k^{2}$ の左に移動させます。

$k^{3} + 2 \cdot k^{2} - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

ステップ 1.5.1.3

指数を足して $k$ に $k$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.3.1

$k$ を移動させます。

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k \cdot k) - 2 k \cdot 2$

ステップ 1.5.1.3.2

$k$ に $k$ をかけます。

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 2 k \cdot 2$

ステップ 1.5.1.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 4 k$

ステップ 1.5.2

$2 k^{2}$ から $2 k^{2}$ を引きます。

$k^{3} + 0 - 4 k$

ステップ 1.5.3

$k^{3}$ と $0$ をたし算します。

$k^{3} - 4 k$

ステップ 1.6

総和を書き換えます。

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k = \sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 \sum_{k = 1}^{30} k$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

次数 $3$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

ステップ 3.2

値を公式に代入します。

$\frac{30^{2} {(30 + 1)}^{2}}{4}$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$30$ と $1$ をたし算します。

$\frac{30^{2} \cdot 31^{2}}{4}$

ステップ 3.3.1.2

$30$ を $2$ 乗します。

$\frac{900 \cdot 31^{2}}{4}$

ステップ 3.3.1.3

$31$ を $2$ 乗します。

$\frac{900 \cdot 961}{4}$

ステップ 3.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$900$ に $961$ をかけます。

$\frac{864900}{4}$

ステップ 3.3.2.2

$864900$ を $4$ で割ります。

$216225$

ステップ 4

$4 \sum_{k = 1}^{30} k$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 4.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 4) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

ステップ 4.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$30$ と $1$ をたし算します。

$- 4 \frac{30 \cdot 31}{2}$

ステップ 4.3.1.2

$30$ に $31$ をかけます。

$- 4 (\frac{930}{2})$

ステップ 4.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$2 (- 2) \frac{930}{2}$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 2 \frac{930}{2}$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$- 2 \cdot 930$

ステップ 4.3.3

$- 2$ に $930$ をかけます。

$- 1860$

ステップ 5

合計した結果をたします。

$216225 - 1860$

ステップ 6

$216225$ から $1860$ を引きます。

$214365$

微分積分 例

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