微分積分例

$\sum_{n = 1}^{6} 2 {(5)}^{n}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{n}$ と $a_{n + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{2 \cdot 5^{n + 1}}{2 \cdot 5^{n}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{2 \cdot 5^{n + 1}}{2 \cdot 5^{n}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{5^{n + 1}}{5^{n}}$

ステップ 2.2.2

$5^{n + 1}$ と $5^{n}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

$5^{n}$ を $5^{n + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{5^{n} \cdot 5}{5^{n}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{5^{n} \cdot 5}{5^{n} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{5^{n} \cdot 5}{5^{n} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{5}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

$5$ を $1$ で割ります。

$r = 5$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$n$ の $1$ を $2 {(5)}^{n}$ に代入します。

$a = 2 \cdot 5^{1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

指数を求めます。

$a = 2 \cdot 5$

ステップ 3.2.2

$2$ に $5$ をかけます。

$a = 10$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$10 \frac{1 - 5^{6}}{1 - 1 \cdot 5}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$5$ を $6$ 乗します。

$10 \frac{1 - 1 \cdot 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ に $15625$ をかけます。

$10 \frac{1 - 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

ステップ 5.1.3

$1$ から $15625$ を引きます。

$10 \frac{- 15624}{1 - 1 \cdot 5}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$10 \frac{- 15624}{1 - 5}$

ステップ 5.2.2

$1$ から $5$ を引きます。

$10 (\frac{- 15624}{- 4})$

ステップ 5.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$2 (5) \frac{- 15624}{- 4}$

ステップ 5.3.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$2 \cdot 5 \frac{- 15624}{2 \cdot - 2}$

ステップ 5.3.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 5 \frac{- 15624}{2 \cdot - 2}$

ステップ 5.3.4

式を書き換えます。

$5 (\frac{- 15624}{- 2})$

ステップ 5.4

$5$ と $\frac{- 15624}{- 2}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot - 15624}{- 2}$

ステップ 5.5

$5$ に $- 15624$ をかけます。

$\frac{- 78120}{- 2}$

ステップ 5.6

$- 78120$ を $- 2$ で割ります。

$39060$

微分積分 例

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