微分積分例

$\sum_{i = 1}^{22} i {(i - 1)}^{2}$

ステップ 1

総和を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(i - 1)}^{2}$ を $(i - 1) (i - 1)$ に書き換えます。

$i ((i - 1) (i - 1))$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(i - 1) (i - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$i (i (i - 1) - 1 (i - 1))$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1))$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$i$ に $i$ をかけます。

$i (i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ を $i$ の左に移動させます。

$i (i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.3.1.3

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$i (i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.3.1.4

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$i (i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$i (i^{2} - i - i + 1)$

ステップ 1.3.2

$- i$ から $i$ を引きます。

$i (i^{2} - 2 i + 1)$

ステップ 1.4

分配則を当てはめます。

$i \cdot i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

指数を足して $i$ に $i^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$i$ に $i^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1.1

$i$ を $1$ 乗します。

$i^{1} i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

ステップ 1.5.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$i^{1 + 2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

ステップ 1.5.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$i^{3} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

ステップ 1.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$i^{3} - 2 i \cdot i + i \cdot 1$

ステップ 1.5.3

$i$ に $1$ をかけます。

$i^{3} - 2 i \cdot i + i$

ステップ 1.6

指数を足して $i$ に $i$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$i$ を移動させます。

$i^{3} - 2 (i \cdot i) + i$

ステップ 1.6.2

$i$ に $i$ をかけます。

$i^{3} - 2 i^{2} + i$

ステップ 1.7

総和を書き換えます。

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i = \sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2} + \sum_{i = 1}^{22} i$

ステップ 3

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

次数 $3$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

ステップ 3.2

値を公式に代入します。

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4}$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$22$ と $1$ をたし算します。

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{4}$

ステップ 3.3.1.2

$22$ を $2$ 乗します。

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{4}$

ステップ 3.3.1.3

$23$ を $2$ 乗します。

$\frac{484 \cdot 529}{4}$

ステップ 3.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$484$ に $529$ をかけます。

$\frac{256036}{4}$

ステップ 3.3.2.2

$256036$ を $4$ で割ります。

$64009$

ステップ 4

$2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 4.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 2) (\frac{22 (22 + 1) (2 \cdot 22 + 1)}{6})$

ステップ 4.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$22$ と $1$ をたし算します。

$- 2 \frac{22 \cdot 23 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

ステップ 4.3.1.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

$22$ に $23$ をかけます。

$- 2 \frac{506 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

ステップ 4.3.1.2.2

$2$ に $22$ をかけます。

$- 2 \frac{506 (44 + 1)}{6}$

ステップ 4.3.1.3

$44$ と $1$ をたし算します。

$- 2 \frac{506 \cdot 45}{6}$

ステップ 4.3.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$506$ に $45$ をかけます。

$- 2 (\frac{22770}{6})$

ステップ 4.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{22770}{6}$

ステップ 4.3.2.2.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.3.2.2.4

式を書き換えます。

$- 1 (\frac{22770}{3})$

ステップ 4.3.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$22770$ を $3$ で割ります。

$- 1 \cdot 7590$

ステップ 4.3.2.3.2

$- 1$ に $7590$ をかけます。

$- 7590$

ステップ 5

$\sum_{i = 1}^{22} i$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 5.2

値を公式に代入します。

$\frac{22 (22 + 1)}{2}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$22$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$2$ を $22 (22 + 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2}$

ステップ 5.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 (1)}$

ステップ 5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{11 (22 + 1)}{1}$

ステップ 5.3.1.2.4

$11 (22 + 1)$ を $1$ で割ります。

$11 (22 + 1)$

ステップ 5.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$22$ と $1$ をたし算します。

$11 \cdot 23$

ステップ 5.3.2.2

$11$ に $23$ をかけます。

$253$

ステップ 6

合計した結果をたします。

$64009 - 7590 + 253$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$64009$ から $7590$ を引きます。

$56419 + 253$

ステップ 7.2

$56419$ と $253$ をたし算します。

$56672$

微分積分 例

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