微分積分例

$\sum_{k = 1}^{8} - 4 k^{2} + 6 k$

ステップ 1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{8} - 4 k^{2} + 6 k = - 4 \sum_{k = 1}^{8} k^{2} + 6 \sum_{k = 1}^{8} k$

ステップ 2

$4 \sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 2.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 4) (\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6})$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$8$ と $1$ をたし算します。

$- 4 \frac{8 \cdot 9 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

ステップ 2.3.1.2

指数をまとめます。

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ステップ 2.3.1.2.1

$8$ に $9$ をかけます。

$- 4 \frac{72 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

ステップ 2.3.1.2.2

$2$ に $8$ をかけます。

$- 4 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

$- 4 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

ステップ 2.3.1.3

$16$ と $1$ をたし算します。

$- 4 \frac{72 \cdot 17}{6}$

$- 4 \frac{72 \cdot 17}{6}$

ステップ 2.3.2

項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$72$ に $17$ をかけます。

$- 4 (\frac{1224}{6})$

ステップ 2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$2 (- 2) \frac{1224}{6}$

ステップ 2.3.2.2.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 \cdot - 2 \frac{1224}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 2 \frac{1224}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.2.2.4

式を書き換えます。

$- 2 (\frac{1224}{3})$

$- 2 (\frac{1224}{3})$

ステップ 2.3.2.3

$- 2$ と $\frac{1224}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 1224}{3}$

ステップ 2.3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.3.2.4.1

$- 2$ に $1224$ をかけます。

$\frac{- 2448}{3}$

ステップ 2.3.2.4.2

$- 2448$ を $3$ で割ります。

$- 816$

$- 816$

$- 816$

$- 816$

$- 816$

ステップ 3

$6 \sum_{k = 1}^{8} k$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 3.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(6) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$8$ と $1$ をたし算します。

$6 \frac{8 \cdot 9}{2}$

ステップ 3.3.1.2

$8$ に $9$ をかけます。

$6 (\frac{72}{2})$

$6 (\frac{72}{2})$

ステップ 3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{72}{2}$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{72}{2}$

ステップ 3.3.2.3

式を書き換えます。

$3 \cdot 72$

$3 \cdot 72$

ステップ 3.3.3

$3$ に $72$ をかけます。

$216$

$216$

$216$

ステップ 4

合計した結果をたします。

$- 816 + 216$

ステップ 5

$- 816$ と $216$ をたし算します。

$- 600$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$