微分積分例

$\sum_{k = 1}^{6} {(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1} \cdot 3^{k + 1}}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

${(- 1)}^{k + 1}$ と ${(- 1)}^{k}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

${(- 1)}^{k}$ を ${(- 1)}^{k + 1} \cdot 3^{k + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

ステップ 2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1

${(- 1)}^{k}$ を ${(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} (3^{k})}$

ステップ 2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

ステップ 2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{- 3^{k + 1}}{3^{k}}$

ステップ 2.2.2

$3^{k + 1}$ と $3^{k}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

$3^{k}$ を $- 3^{k + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{- 1 \cdot 3}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

$- 1 \cdot 3$ を $1$ で割ります。

$r = - 1 \cdot 3$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$r = - 3$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$k$ の $1$ を ${(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$ に代入します。

$a = {(- 1)}^{1} \cdot 3^{1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

指数を求めます。

$a = - 1 \cdot 3^{1}$

ステップ 3.2.2

指数を求めます。

$a = - 1 \cdot 3$

ステップ 3.2.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$a = - 3$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$- 3 \frac{1 - {(- 3)}^{6}}{1 - - 3}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 3$ を $6$ 乗します。

$- 3 \frac{1 - 1 \cdot 729}{1 - - 3}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ に $729$ をかけます。

$- 3 \frac{1 - 729}{1 - - 3}$

ステップ 5.1.3

$1$ から $729$ を引きます。

$- 3 \frac{- 728}{1 - - 3}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- 3 \frac{- 728}{1 + 3}$

ステップ 5.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$- 3 (\frac{- 728}{4})$

ステップ 5.3

$- 728$ を $4$ で割ります。

$- 3 \cdot - 182$

ステップ 5.4

$- 3$ に $- 182$ をかけます。

$546$

微分積分 例

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