微分積分例

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

ステップ 1

総和を分割し、 $j$ の始めの値が $1$ に等しくなるようにします。

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = \sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} - \sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

ステップ 2

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = 6 \sum_{j = 1}^{30} j + \sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$

ステップ 2.2

$6 \sum_{j = 1}^{30} j$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 2.2.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(6) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

ステップ 2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

$30$ と $1$ をたし算します。

$6 \frac{30 \cdot 31}{2}$

ステップ 2.2.3.1.2

$30$ に $31$ をかけます。

$6 (\frac{930}{2})$

ステップ 2.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{930}{2}$

ステップ 2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{930}{2}$

ステップ 2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$3 \cdot 930$

ステップ 2.2.3.3

$3$ に $930$ をかけます。

$2790$

ステップ 2.3

$\sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和から因数 $- \frac{4}{3}$ をくくり出します。

$(- \frac{4}{3}) \sum_{j = 1}^{30} j^{2}$

ステップ 2.3.2

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 2.3.3

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- \frac{4}{3}) (\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

$30$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{30 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

ステップ 2.3.4.1.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.2.1

$30$ に $31$ をかけます。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

ステップ 2.3.4.1.2.2

$2$ に $30$ をかけます。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (60 + 1)}{6}$

ステップ 2.3.4.1.3

$60$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 \cdot 61}{6}$

ステップ 2.3.4.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1

$930$ に $61$ をかけます。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

ステップ 2.3.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.2.1

$- \frac{4}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

ステップ 2.3.4.2.2.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

ステップ 2.3.4.2.2.3

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.4.2.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.4.2.2.5

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{56730}{3}$

ステップ 2.3.4.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.3.1

$3$ を $56730$ で因数分解します。

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 (18910)}{3}$

ステップ 2.3.4.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 18910}{3}$

ステップ 2.3.4.2.3.3

式を書き換えます。

$- 2 (\frac{18910}{3})$

ステップ 2.3.4.2.4

$- 2$ と $\frac{18910}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 18910}{3}$

ステップ 2.3.4.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.5.1

$- 2$ に $18910$ をかけます。

$\frac{- 37820}{3}$

ステップ 2.3.4.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{37820}{3}$

ステップ 2.4

合計した結果を足します。

$2790 - \frac{37820}{3}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2790$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2790 \cdot \frac{3}{3} - \frac{37820}{3}$

ステップ 2.5.2

$2790$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2790 \cdot 3}{3} - \frac{37820}{3}$

ステップ 2.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2790 \cdot 3 - 37820}{3}$

ステップ 2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$2790$ に $3$ をかけます。

$\frac{8370 - 37820}{3}$

ステップ 2.5.4.2

$8370$ から $37820$ を引きます。

$\frac{- 29450}{3}$

ステップ 2.5.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{29450}{3}$

ステップ 3

$\sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$j$ の各値の級数を展開します。

$6 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$6$ に $1$ をかけます。

$6 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

ステップ 3.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$6 - \frac{4 \cdot 1}{3}$

ステップ 3.2.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$6 - \frac{4}{3}$

ステップ 3.2.2

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 3.2.3

$6$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 \cdot 3 - 4}{3}$

ステップ 3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

$6$ に $3$ をかけます。

$\frac{18 - 4}{3}$

ステップ 3.2.5.2

$18$ から $4$ を引きます。

$\frac{14}{3}$

ステップ 4

総和を求めた値で置換します。

$- \frac{29450}{3} - \frac{14}{3}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 29450 - 14}{3}$

ステップ 5.2

式を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 29450$ から $14$ を引きます。

$\frac{- 29464}{3}$

ステップ 5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{29464}{3}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{29464}{3}$

10進法形式：

$- 9821.\overline{3}$

帯分数形：

$- 9821 \frac{1}{3}$

微分積分 例

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