微分積分例

$x^{2} e^{- x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$

ステップ 1.4.2

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2} e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

ステップ 2.2.2

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$- (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

ステップ 2.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

ステップ 2.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

ステップ 2.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

ステップ 2.2.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$- (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

ステップ 2.2.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x e^{- x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ です。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1)$

ステップ 2.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1)$

ステップ 2.3.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

ステップ 2.3.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

ステップ 2.3.10

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x})$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x})$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.3.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (x)) + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.3.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.3.5

$- 2 e^{- x} x$ から $2 x e^{- x}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.5.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.3.5.2

$- 2 x e^{- x}$ から $2 x e^{- x}$ を引きます。

$x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.4

項を並べ替えます。

$e^{- x} x^{2} - 4 e^{- x} x + 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.5

$e^{- x} x^{2} - 4 e^{- x} x + 2 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.7

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.2.8

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x e^{- x}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ です。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.3.2

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.3.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.3.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.3.10

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{- x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 3.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $- x$ とします。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.4.2.3

$u_{3}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.4.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 3.4.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 3.4.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 3.4.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 (- e^{- x})$

ステップ 3.4.8

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 2 e^{- x}$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) - 4 (x (- e^{- x})) - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

ステップ 3.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x) + 4 (x (e^{- x})) - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

ステップ 3.5.2.2

$e^{- x} (2 x)$ と $4 x e^{- x}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 x e^{- x} + 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

ステップ 3.5.2.2.2

$2 x e^{- x}$ と $4 x e^{- x}$ をたし算します。

$x^{2} (- e^{- x}) + 6 x e^{- x} - 4 e^{- x} - 2 e^{- x}$

ステップ 3.5.2.3

$- 4 e^{- x}$ から $2 e^{- x}$ を引きます。

$x^{2} (- e^{- x}) + 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$

ステップ 3.5.3

項を並べ替えます。

$- e^{- x} x^{2} + 6 e^{- x} x - 6 e^{- x}$

ステップ 3.5.4

$- e^{- x} x^{2} + 6 e^{- x} x - 6 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f''' (x) = - x^{2} e^{- x} + 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $- x^{2} e^{- x} + 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2} e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.2.2

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$- (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.2.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$- (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.2.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [6 x e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x e^{- x}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ です。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.3.2

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.3.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.3.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.3.10

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$

ステップ 4.4

$\frac{d}{d x} [- 6 e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 e^{- x}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 4.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $- x$ とします。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 4.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 4.4.2.3

$u_{3}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 4.4.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 4.4.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 4.4.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 4.4.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 6 (- e^{- x})$

ステップ 4.4.8

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 6 e^{- x}$

ステップ 4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

分配則を当てはめます。

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 6 e^{- x}$

ステップ 4.5.2

分配則を当てはめます。

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

ステップ 4.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

ステップ 4.5.3.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

ステップ 4.5.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (x)) + 6 (x (- e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

ステップ 4.5.3.4

$- 1$ に $6$ をかけます。

$x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 6 (x (e^{- x})) + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

ステップ 4.5.3.5

$- 2 e^{- x} x$ から $6 x e^{- x}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.5.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

ステップ 4.5.3.5.2

$- 2 x e^{- x}$ から $6 x e^{- x}$ を引きます。

$x^{2} e^{- x} - 8 x e^{- x} + 6 e^{- x} + 6 e^{- x}$

ステップ 4.5.3.6

$6 e^{- x}$ と $6 e^{- x}$ をたし算します。

$x^{2} e^{- x} - 8 x e^{- x} + 12 e^{- x}$

ステップ 4.5.4

項を並べ替えます。

$e^{- x} x^{2} - 8 e^{- x} x + 12 e^{- x}$

ステップ 4.5.5

$e^{- x} x^{2} - 8 e^{- x} x + 12 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f^{4} (x) = x^{2} e^{- x} - 8 x e^{- x} + 12 e^{- x}$

微分積分 例

微分積分例