微分積分例

$\sin^{2} (4 x + 9)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (4 x + 9)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (4 x + 9)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

ステップ 1.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (4 x + 9)$ で置き換えます。

$2 \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

ステップ 1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x + 9$ とします。

$2 \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

ステップ 1.2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 \sin (4 x + 9) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

ステップ 1.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x + 9$ で置き換えます。

$2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $4 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 1.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 1.3.4

$4$ に $1$ をかけます。

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9])$

ステップ 1.3.5

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 + 0)$

ステップ 1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \cdot 4$

ステップ 1.3.6.2

$4$ に $2$ をかけます。

$8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$

ステップ 1.3.6.3

$8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \cos (4 x + 9)$ および $g (x) = \sin (4 x + 9)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$8 (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x + 9$ とします。

$8 (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.3.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$8 (\cos (4 x + 9) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x + 9$ で置き換えます。

$8 (\cos (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.4

$\cos (4 x + 9)$ を $1$ 乗します。

$8 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.5

$\cos (4 x + 9)$ を $1$ 乗します。

$8 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos^{1} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 ({\cos (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.7

微分します。

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ステップ 2.7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.7.2

総和則では、 $4 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.7.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.7.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.7.5

$4$ に $1$ をかけます。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.7.6

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + 0) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.7.7

式を簡約します。

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ステップ 2.7.7.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) \cdot 4 + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.7.7.2

$4$ を $\cos^{2} (4 x + 9)$ の左に移動させます。

$8 (4 \cdot \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 2.8

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 4 x + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x + 9$ とします。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

ステップ 2.8.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

ステップ 2.8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x + 9$ で置き換えます。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

ステップ 2.9

$\sin (4 x + 9)$ を $1$ 乗します。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

ステップ 2.10

$\sin (4 x + 9)$ を $1$ 乗します。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin^{1} (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

ステップ 2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - {\sin (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

ステップ 2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

ステップ 2.13

総和則では、 $4 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

ステップ 2.14

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

ステップ 2.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

ステップ 2.16

$4$ に $1$ をかけます。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]))$

ステップ 2.17

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + 0))$

ステップ 2.18

式を簡約します。

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ステップ 2.18.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \cdot 4)$

ステップ 2.18.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

ステップ 2.19

簡約します。

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ステップ 2.19.1

分配則を当てはめます。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9)) + 8 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

ステップ 2.19.2

項をまとめます。

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ステップ 2.19.2.1

$4$ に $8$ をかけます。

$32 \cos^{2} (4 x + 9) + 8 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

ステップ 2.19.2.2

$- 4$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = 32 \cos^{2} (4 x + 9) - 32 \sin^{2} (4 x + 9)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $32 \cos^{2} (4 x + 9) - 32 \sin^{2} (4 x + 9)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$ です。

$\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $32 \cos^{2} (4 x + 9)$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (4 x + 9)]$ です。

$32 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (4 x + 9)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (4 x + 9)$ とします。

$32 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (4 x + 9)$ で置き換えます。

$32 (2 \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 4 x + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x + 9$ とします。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.3.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x + 9$ で置き換えます。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.4

総和則では、 $4 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.7

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \cdot 1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.8

$4$ に $1$ をかけます。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.9

$4$ と $0$ をたし算します。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.10

$4$ に $- 1$ をかけます。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- 4 \sin (4 x + 9))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.11

$- 4$ に $2$ をかけます。

$32 (- 8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.2.12

$- 8$ に $32$ をかけます。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 32 \sin^{2} (4 x + 9)$ の微分係数は $- 32 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x + 9)]$ です。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x + 9)]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (4 x + 9)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\sin (4 x + 9)$ とします。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

ステップ 3.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

ステップ 3.3.2.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\sin (4 x + 9)$ で置き換えます。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

ステップ 3.3.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $4 x + 9$ とします。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

ステップ 3.3.3.2

$u_{4}$ に関する $\sin (u_{4})$ の微分係数は $\cos (u_{4})$ です。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

ステップ 3.3.3.3

$u_{4}$ のすべての発生を $4 x + 9$ で置き換えます。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

ステップ 3.3.4

総和則では、 $4 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9])))$

ステップ 3.3.5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])))$

ステップ 3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])))$

ステップ 3.3.7

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + 0)))$

ステップ 3.3.8

$4$ に $1$ をかけます。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 + 0)))$

ステップ 3.3.9

$4$ と $0$ をたし算します。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \cdot 4))$

ステップ 3.3.10

$4$ を $\cos (4 x + 9)$ の左に移動させます。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (4 \cdot \cos (4 x + 9)))$

ステップ 3.3.11

$4$ に $2$ をかけます。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9))$

ステップ 3.3.12

$8$ に $- 32$ をかけます。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 256 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$

ステップ 3.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 256 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$ の因数を並べ替えます。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

ステップ 3.4.2

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ から $256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ を引きます。

$f''' (x) = - 512 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

$- 512$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 512 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ の微分係数は $- 512 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$ です。

$- 512 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$

ステップ 4.2

$- 512 (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x + 9$ とします。

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.3.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x + 9$ で置き換えます。

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.4

$\cos (4 x + 9)$ を $1$ 乗します。

$- 512 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.5

$\cos (4 x + 9)$ を $1$ 乗します。

$- 512 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos^{1} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 512 ({\cos (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.7

微分します。

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ステップ 4.7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.7.2

総和則では、 $4 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.7.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.7.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.7.5

$4$ に $1$ をかけます。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.7.6

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + 0) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.7.7

式を簡約します。

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ステップ 4.7.7.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) \cdot 4 + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.7.7.2

$4$ を $\cos^{2} (4 x + 9)$ の左に移動させます。

$- 512 (4 \cdot \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

ステップ 4.8

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 4 x + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x + 9$ とします。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

ステップ 4.8.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

ステップ 4.8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x + 9$ で置き換えます。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

ステップ 4.9

$\sin (4 x + 9)$ を $1$ 乗します。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

ステップ 4.10

$\sin (4 x + 9)$ を $1$ 乗します。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin^{1} (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

ステップ 4.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - {\sin (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

ステップ 4.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

ステップ 4.13

総和則では、 $4 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

ステップ 4.14

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

ステップ 4.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

ステップ 4.16

$4$ に $1$ をかけます。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]))$

ステップ 4.17

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + 0))$

ステップ 4.18

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.18.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \cdot 4)$

ステップ 4.18.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

ステップ 4.19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.1

分配則を当てはめます。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9)) - 512 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

ステップ 4.19.2

項をまとめます。

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ステップ 4.19.2.1

$4$ に $- 512$ をかけます。

$- 2048 \cos^{2} (4 x + 9) - 512 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

ステップ 4.19.2.2

$- 4$ に $- 512$ をかけます。

$f^{4} (x) = - 2048 \cos^{2} (4 x + 9) + 2048 \sin^{2} (4 x + 9)$

微分積分 例

微分積分例