微分積分例

$e^{r (θ - t)} S^{- 1}$

ステップ 1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)} \frac{1}{S}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$e^{r (θ - t)}$ と $\frac{1}{S}$ をまとめます。

$\frac{d}{d t} [\frac{e^{r (θ - t)}}{S}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{S}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ の微分係数は $\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$ です。

$\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$

ステップ 3

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = r (θ - t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $r (θ - t)$ とします。

$\frac{1}{S} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{S} (e^{u} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $r (θ - t)$ で置き換えます。

$\frac{1}{S} (e^{r (θ - t)} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$e^{r (θ - t)}$ と $\frac{1}{S}$ をまとめます。

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [r (θ - t)]$

ステップ 4.2

$r$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $r (θ - t)$ の微分係数は $r \frac{d}{d t} [θ - t]$ です。

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} (r \frac{d}{d t} [θ - t])$

ステップ 4.3

$r$ と $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ をまとめます。

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [θ - t]$

ステップ 4.4

総和則では、 $θ - t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t]$ です。

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 4.5

$θ$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $θ$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 4.6

$0$ と $\frac{d}{d t} [- t]$ をたし算します。

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 4.7

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 4.9

分数をまとめます。

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ステップ 4.9.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \cdot - 1$

ステップ 4.9.2

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{r e^{r (θ - t)} \cdot - 1}{S}$

ステップ 4.9.3

式を簡約します。

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ステップ 4.9.3.1

$- 1$ を $r e^{r (θ - t)}$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot (r e^{r (θ - t)})}{S}$

ステップ 4.9.3.2

$- 1 r$ を $- r$ に書き換えます。

$\frac{- r e^{r (θ - t)}}{S}$

ステップ 4.9.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{r e^{r θ + r (- t)}}{S}$

ステップ 5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{r e^{r θ - r t}}{S}$

微分積分 例

微分積分例