微分積分例

$(x^{2} + y^{2}) \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + y^{2}$ および $g (x) = \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})] + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ とします。

$(x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$(x^{2} + y^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ で置き換えます。

$(x^{2} + y^{2}) (\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 3

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ を ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}] + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 5

$x^{2} + y^{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{- 2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 7

$1$ から $2$ を引きます。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 8

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 10

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x + 0)) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x)) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 11.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 12

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 14

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x + 0)$

ステップ 15

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

ステップ 16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 \frac{1}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

項をまとめます。

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ステップ 17.1.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ をまとめます。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{- 2}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

ステップ 17.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{2}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

ステップ 17.1.3

$x$ と $\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ をまとめます。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{x \cdot 2}{x^{2} + y^{2}}) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

ステップ 17.1.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{2 \cdot x}{x^{2} + y^{2}}) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

ステップ 17.1.5

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$ と $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)}{x^{2} + y^{2}} + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

ステップ 17.1.6

$\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ を掛けます。

$- \frac{\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)}{x^{2} + y^{2}} + \frac{\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 17.1.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 17.1.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) x + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 17.2

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 x \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) + 2 x \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

微分積分 例

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