微分積分例

$\frac{\tan (x) - 1}{\sec (x)}$

ステップ 1

$f (x) = \tan (x) - 1$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1] - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 2

総和則では、 $\tan (x) - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{\sec (x) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + 0) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 4.2

$\sec^{2} (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 5

指数を足して $\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ をかけます。

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ステップ 5.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 2} - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 5.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 6

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 7

$\sec (x)$ を $\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$\sec (x)$ を $\sec^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 7.2

$\sec (x)$ を $- (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 7.3

$\sec (x)$ を $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- (\tan (x) - 1) \tan (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8

共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

$\sec (x)$ を $\sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

ステップ 8.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

ステップ 8.3

式を書き換えます。

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x)}{\sec (x)}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sec^{2} (x) + (- \tan (x) - - 1) \tan (x)}{\sec (x)}$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

ステップ 9.3

分子を簡約します。

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ステップ 9.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.3.1.1

$- \tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

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ステップ 9.3.1.1.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

ステップ 9.3.1.1.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

ステップ 9.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

ステップ 9.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

ステップ 9.3.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

ステップ 9.3.1.3

$\tan (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + \tan (x)}{\sec (x)}$

ステップ 9.3.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1 + \tan (x)}{\sec (x)}$

微分積分 例

微分積分例