微分積分例

$4^{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = 4^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2

$a$ = $4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$4^{x^{2}} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4^{x^{2}} \ln (4) (2 x)$

ステップ 2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \cdot {(2^{2})}^{x^{2}} \ln (4) x$

ステップ 2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \cdot 2^{2 x^{2}} \ln (4) x$

ステップ 3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{1 + 2 x^{2}} \ln (4) x$

ステップ 4

$2^{1 + 2 x^{2}} \ln (4) x$ の因数を並べ替えます。

$2^{1 + 2 x^{2}} x \ln (4)$

微分積分 例