微分積分例

$f (x) = \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$

ステップ 1

式 $\frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - \frac{5}{6}$

ステップ 2

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $\sqrt{x^{2}} = x$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

ステップ 2.2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 2.2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 2.2.2.2

$10$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 2.2.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 2.2.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 2.2.5

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 2.2.6

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $10$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 2.2.7

$11$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{10 + 11 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 2.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 2.4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

ステップ 2.4.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $12$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

ステップ 2.4.3

$10$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 2.5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

ステップ 2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

$11$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

ステップ 2.6.1.2

$10$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

ステップ 2.6.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$10$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 0}$

ステップ 2.6.2.2

$12$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{10}}{12}$

ステップ 3

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $- \sqrt{x^{2}} = x$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

ステップ 3.2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 3.2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 3.2.2.2

$10$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 3.2.3

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 3.2.4

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 3.2.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 3.2.6

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 3.2.7

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $10$ の極限値を求めます。

$\frac{- \sqrt{10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 3.2.8

$11$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- \sqrt{10 + 11 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 3.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

ステップ 3.4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

ステップ 3.4.2

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $12$ の極限値を求めます。

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

ステップ 3.4.3

$10$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 3.5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

ステップ 3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$11$ に $0$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

ステップ 3.6.1.2

$10$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

ステップ 3.6.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$10$ に $0$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 0}$

ステップ 3.6.2.2

$12$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{10}}{12}$

ステップ 3.6.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{10}}{12}$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。これはラジカルを含む式なので、多項式の割り算はできません。

斜めの漸近線を求められません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - \frac{5}{6}$

水平漸近線： $y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

斜めの漸近線を求められません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例