微分積分例

$y = 2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$

ステップ 1

$2$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$ です。

$2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$

ステップ 2

$f (v) = \sin (v^{2})$ および $g (v) = \cos (6 v)$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ は $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (\sin (v^{2}) \frac{d}{d v} [\cos (6 v)] + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

ステップ 3

$f (v) = \cos (v)$ および $g (v) = 6 v$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ は $f' (g (v)) g' (v)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $6 v$ とします。

$2 (\sin (v^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

ステップ 3.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

ステップ 3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $6 v$ で置き換えます。

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$6$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $6 v$ の微分係数は $6 \frac{d}{d v} [v]$ です。

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) (6 \frac{d}{d v} [v])) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

ステップ 4.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \frac{d}{d v} [v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \cdot 1) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

ステップ 4.4

$- 6$ に $1$ をかけます。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

ステップ 5

$f (v) = \sin (v)$ および $g (v) = v^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ は $f' (g (v)) g' (v)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $v^{2}$ とします。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

ステップ 5.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $v^{2}$ で置き換えます。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (v^{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

ステップ 6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

ステップ 7.2

項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$- 6$ に $2$ をかけます。

$- 12 (\sin (v^{2}) (\sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

ステップ 7.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 \cos (6 v) \cos (v^{2}) v$

ステップ 7.3

項を並べ替えます。

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 v \cos (v^{2}) \cos (6 v)$

微分積分 例

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