微分積分例

$y \sin (x) = x \sin (y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y \sin (x)) = \frac{d}{d x} (x \sin (y))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = y$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y \cos (x) + \sin (x) y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (y)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x \cos (y) y' + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \cos (y) y' + \sin (y) \cdot 1$

ステップ 3.5

$\sin (y)$ に $1$ をかけます。

$x \cos (y) y' + \sin (y)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y \cos (x) + \sin (x) y' = x \cos (y) y' + \sin (y)$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$y \cos (x) + \sin (x) y'$ の因数を並べ替えます。

$y \cos (x) + y' \sin (x) = x \cos (y) y' + \sin (y)$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$x \cos (y) y' + \sin (y)$ の因数を並べ替えます。

$y \cos (x) + y' \sin (x) = x y' \cos (y) + \sin (y)$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $x y' \cos (y)$ を引きます。

$y \cos (x) + y' \sin (x) - x y' \cos (y) = \sin (y)$

ステップ 5.4

方程式の両辺から $y \cos (x)$ を引きます。

$y' \sin (x) - x y' \cos (y) = \sin (y) - y \cos (x)$

ステップ 5.5

$y'$ を $y' \sin (x) - x y' \cos (y)$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$y'$ を $y' \sin (x)$ で因数分解します。

$y' (\sin (x)) - x y' \cos (y) = \sin (y) - y \cos (x)$

ステップ 5.5.2

$y'$ を $- x y' \cos (y)$ で因数分解します。

$y' (\sin (x)) + y' (- x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$

ステップ 5.5.3

$y'$ を $y' (\sin (x)) + y' (- x \cos (y))$ で因数分解します。

$y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$

ステップ 5.6

$y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$ の各項を $\sin (x) - x \cos (y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.6.1

$y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$ の各項を $\sin (x) - x \cos (y)$ で割ります。

$\frac{y' (\sin (x) - x \cos (y))}{\sin (x) - x \cos (y)} = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

ステップ 5.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$\sin (x) - x \cos (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (\sin (x) - x \cos (y))}{\sin (x) - x \cos (y)} = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

ステップ 5.6.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

ステップ 5.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.6.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} - \frac{y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

ステップ 5.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{\sin (y) - y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (y) - y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

微分積分 例

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