微分積分例

$y = \ln (7 x^{3} - x^{2})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (7 x^{3} - x^{2}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 7 x^{3} - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x^{3} - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $7 x^{3} - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{3} - x^{2}]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $7 x^{3} - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.2.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{3}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.2.4

$3$ に $7$ をかけます。

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - (2 x))$

ステップ 3.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - 2 x)$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{7 x^{3} - x^{2}} (21 x^{2} - 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{7 x^{3} - x^{2}}$

ステップ 3.3.2

$x^{2}$ を $7 x^{3} - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

$x^{2}$ を $7 x^{3}$ で因数分解します。

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x) - x^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.3.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} (7 x) + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$(21 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (7 x - 1)}$

ステップ 3.3.3

$21 x^{2} - 2 x$ に $\frac{1}{x^{2} (7 x - 1)}$ をかけます。

$\frac{21 x^{2} - 2 x}{x^{2} (7 x - 1)}$

ステップ 3.3.4

$x$ を $21 x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.4.1

$x$ を $21 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (21 x) - 2 x}{x^{2} (7 x - 1)}$

ステップ 3.3.4.2

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x (21 x) + x \cdot - 2}{x^{2} (7 x - 1)}$

ステップ 3.3.4.3

$x$ を $x (21 x) + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{x (21 x - 2)}{x^{2} (7 x - 1)}$

ステップ 3.3.5

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.5.1

$x$ を $x^{2} (7 x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{x (21 x - 2)}{x (x (7 x - 1))}$

ステップ 3.3.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (21 x - 2)}{x (x (7 x - 1))}$

ステップ 3.3.5.3

式を書き換えます。

$\frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{21 x - 2}{x (7 x - 1)}$

微分積分 例

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