微分積分例

$y z = \ln (x + z)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y z) = \frac{d}{d x} (\ln (x + z))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$z$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $y z$ の微分係数は $z \frac{d}{d x} [y]$ です。

$z \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$z y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + z$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + z$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + z]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + z]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x + z$ で置き換えます。

$\frac{1}{x + z} \frac{d}{d x} [x + z]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x + z$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z]$ です。

$\frac{1}{x + z} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z])$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x + z} (1 + \frac{d}{d x} [z])$

ステップ 3.2.3

$z$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $z$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x + z} (1 + 0)$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x + z} \cdot 1$

ステップ 3.2.4.2

$\frac{1}{x + z}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x + z}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$z y' = \frac{1}{x + z}$

ステップ 5

$z y' = \frac{1}{x + z}$ の各項を $z$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$z y' = \frac{1}{x + z}$ の各項を $z$ で割ります。

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$z$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

ステップ 5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{1}{x + z} \cdot \frac{1}{z}$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{x + z}$ に $\frac{1}{z}$ をかけます。

$y' = \frac{1}{(x + z) z}$

ステップ 5.3.3

$\frac{1}{(x + z) z}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{1}{z (x + z)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{z (x + z)}$

微分積分 例

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