微分積分例

$y = x^{3} \sin^{3} (x^{3})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} \sin^{3} (x^{3}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \sin^{3} (x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x^{3})] + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \sin (x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (x^{3})$ とします。

$x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (x^{3})$ で置き換えます。

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{3}$ とします。

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) (\cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) (3 x^{2})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.4.2

$3$ に $3$ をかけます。

$x^{3} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) x^{2}) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.5

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{2} x^{3} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 3} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.5.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$x^{5} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{5} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) (3 x^{2})$

ステップ 3.7

項を並べ替えます。

$9 x^{5} \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) + 3 x^{2} \sin^{3} (x^{3})$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 9 x^{5} \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) + 3 x^{2} \sin^{3} (x^{3})$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{5} \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) + 3 x^{2} \sin^{3} (x^{3})$

微分積分 例

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