微分積分例

$y = \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{x})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例