微分積分例

$y = \sqrt{x} (3 x - 1)$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = x^{\frac{1}{2}} (3 x - 1)$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} (3 x - 1))$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.4

$3$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{\frac{1}{2}} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.6.2

$3$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$3 \cdot x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2.7

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 4.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 4.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.2.1

$3$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.2

$x$ と $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.4

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.5

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.2.5.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.5.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.2.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.5.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.5.4

公分母の分子をまとめます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.5.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.6

$- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に書き換えます。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.7

$3 x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.8

$3 x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.10

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.2.11

$6 x^{\frac{1}{2}}$ と $3 x^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例