微分積分例

$y = \ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$

ステップ 1

総和則では、 $\ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 4 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $4 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{4 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

ステップ 2.2

総和則では、 $4 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{4 x - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

ステップ 2.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

ステップ 2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

ステップ 2.6

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4 x - 1} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

ステップ 2.7

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4 x - 1} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

ステップ 2.8

$\frac{1}{4 x - 1}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \ln (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{1}{x}$

ステップ 3.3

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 3.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{4 x - 1} - \frac{3}{x}$

ステップ 4

項をまとめます。

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ステップ 4.1

$\frac{4}{4 x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x}$

ステップ 4.2

$- \frac{3}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ を掛けます。

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

ステップ 4.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(4 x - 1) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{4}{4 x - 1}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

ステップ 4.3.2

$\frac{3}{x}$ に $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ をかけます。

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

ステップ 4.3.3

$(4 x - 1) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 x}{x (4 x - 1)} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x - 3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

微分積分 例

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