微分積分例

$y = \ln ({(5 - x)}^{6})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(5 - x)}^{6}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(5 - x)}^{6}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(5 - x)}^{6}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = 5 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 - x$ とします。

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{6}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

ステップ 2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (6 {u_{2}}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 - x$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (6 {(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$6$ と $\frac{1}{{(5 - x)}^{6}}$ をまとめます。

$\frac{6}{{(5 - x)}^{6}} ({(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(5 - x)}^{5}$ と $\frac{6}{{(5 - x)}^{6}}$ をまとめます。

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

ステップ 3.2.2

$6$ を ${(5 - x)}^{5}$ の左に移動させます。

$\frac{6 \cdot {(5 - x)}^{5}}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

ステップ 3.2.3

${(5 - x)}^{5}$ と ${(5 - x)}^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

${(5 - x)}^{5}$ を $6 {(5 - x)}^{5}$ で因数分解します。

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

ステップ 3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.1

${(5 - x)}^{5}$ を ${(5 - x)}^{6}$ で因数分解します。

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{5} (5 - x)} \frac{d}{d x} [5 - x]$

ステップ 3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{5} (5 - x)} \frac{d}{d x} [5 - x]$

ステップ 3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6}{5 - x} \frac{d}{d x} [5 - x]$

ステップ 3.3

総和則では、 $5 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{6}{5 - x} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{6}{5 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{6}{5 - x} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{6}{5 - x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6}{5 - x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.8

分数をまとめます。

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ステップ 3.8.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{6}{5 - x} \cdot - 1$

ステップ 3.8.2

$\frac{6}{5 - x}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{6 \cdot - 1}{5 - x}$

ステップ 3.8.3

式を簡約します。

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ステップ 3.8.3.1

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 6}{5 - x}$

ステップ 3.8.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6}{5 - x}$

微分積分 例

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